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Quelques espaces insécables

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...@@ -7,7 +7,7 @@ image: /images/projets/cabanes/test_peinture.jpg ...@@ -7,7 +7,7 @@ image: /images/projets/cabanes/test_peinture.jpg
{% include brouillon.html %} {% include brouillon.html %}
**Article pour le livre « Couleurs sur la plage » en cours de rédaction** **Projet d'article pour le livre « Couleurs sur la plage »**
## Contexte ## Contexte
...@@ -38,9 +38,9 @@ Une des premières questions dans les discussions était : Est-il possible de fa ...@@ -38,9 +38,9 @@ Une des premières questions dans les discussions était : Est-il possible de fa
On peut choisir n'importe laquelle parmi les 10 couleurs pour la bande 0. Quand la couleur de la bande 0 est fixée, il nous reste 9 choix pour la bande 1 et ainsi de suite. On a donc On peut choisir n'importe laquelle parmi les 10 couleurs pour la bande 0. Quand la couleur de la bande 0 est fixée, il nous reste 9 choix pour la bande 1 et ainsi de suite. On a donc
$$10 \times 9 \ldots \times 4 \times 3 = 1 814 400$$ $$10 \times 9 \times \ldots \times 4 \times 3 = 1~814~400$$
choix de couleurs possibles pour une cabane. Pour les largeurs le raisonnement est légèrement plus compliqué, mais il n'est pas très difficile de voir qu'il y a 112 320 choix de largeurs. En combinant chaque choix de couleurs avec chaque choix de largeurs on obtient quelques 203 milliards de cabanes uniques ! Si on mettait toutes ces cabanes l'une à coté de l'autre sans laisser de la place pour le passage, elles couvriront une surface équivalente à celle d'Inde. Et si on les empilait l'une sur l'autre la hauteur de la tour ainsi obtenue sera égale à 2,7 fois la distance de la Terre au Soleil. Nous avons donc beaucoup de choix pour nos 713 cabanes. choix de couleurs possibles pour une cabane. Pour les largeurs le raisonnement est légèrement plus compliqué, mais il n'est pas très difficile de voir qu'il y a 112 320 choix de largeurs. En combinant chaque choix de couleurs avec chaque choix de largeurs on obtient quelques 203 milliards de cabanes uniques ! Si on mettait toutes ces cabanes l'une à coté de l'autre sans laisser de la place pour le passage, elles couvriront une surface équivalente à celle d'Inde. Et si on les empilait l'une sur l'autre la hauteur de la tour ainsi obtenue sera égale à 2,7 fois la distance de la Terre au Soleil. Nous avons donc beaucoup de choix pour nos 713 cabanes.
Pour introduire encore plus de diversité, nous avons imposé une contrainte supplémentaire : deux bandes visibles côte à côte ne doivent pas avoir la même couleur ni la même largeur. Pour introduire encore plus de diversité, nous avons imposé une contrainte supplémentaire : deux bandes visibles côte à côte ne doivent pas avoir la même couleur ni la même largeur.
...@@ -54,7 +54,7 @@ Nous aurions pu nous contenter d'une coloration aléatoire pour un résultat vis ...@@ -54,7 +54,7 @@ Nous aurions pu nous contenter d'une coloration aléatoire pour un résultat vis
Mais la « traduction » de ce texte en séquence de bandes colorées pose deux problèmes. Tout d'abord il est trop court. Pour s'en rendre compte, mesurons l'information en bits. Un *bit* est est la plus petite pièce d'information qui peut prendre deux valeurs souvent notées par 0 et 1. En répondant par « oui » ou par « non » à une question ou en annonçant le résultat d'un tir à pile ou face, on transmet un bit d'information. Avec 2 bits nous avons 4 valeurs possibles : 00, 01, 10 et 11. Avec 3 bits les valeurs possibles sont 8 et ainsi de suite. Avec \\(n\\) bits on peut représenter \\(2^n\\) valeurs différentes. En décrivant une bande on transmet un peu moins de 6 bits d'information car il y a 60 bandes possibles (10 couleurs \\(\times\\) 6 largeurs) et c'est un peu moins de \\(2^6=64\\). Mais la « traduction » de ce texte en séquence de bandes colorées pose deux problèmes. Tout d'abord il est trop court. Pour s'en rendre compte, mesurons l'information en bits. Un *bit* est est la plus petite pièce d'information qui peut prendre deux valeurs souvent notées par 0 et 1. En répondant par « oui » ou par « non » à une question ou en annonçant le résultat d'un tir à pile ou face, on transmet un bit d'information. Avec 2 bits nous avons 4 valeurs possibles : 00, 01, 10 et 11. Avec 3 bits les valeurs possibles sont 8 et ainsi de suite. Avec \\(n\\) bits on peut représenter \\(2^n\\) valeurs différentes. En décrivant une bande on transmet un peu moins de 6 bits d'information car il y a 60 bandes possibles (10 couleurs \\(\times\\) 6 largeurs) et c'est un peu moins de \\(2^6=64\\).
Nous avons vu qu'il y a environ 200 milliards de combinaisons de couleurs et de largeurs pour chaque cabane. Cela signifie que pour décrire une cabane nous avons besoin de 38 bits (\\(2^{38}\\) est proche de 200 milliards). Cela donne environ 27 000 bits pour toutes les 713 cabanes. De l'autre côte le décret de François I<sup>er</sup> fait 3354 caractères. En comptant les lettres, les espaces et les caractères de ponctuation nous avons environ \\(2^5=32\\) caractères différents. Un caractère porte donc 5 bits d'information ou environ 17 000 bits pour le document entier ce qui est inférieur aux 27 000 bits nécessaires pour décrire toutes les cabanes. Nous avons vu qu'il y a environ 200 milliards de combinaisons de couleurs et de largeurs pour chaque cabane. Cela signifie que pour décrire une cabane nous avons besoin de 38 bits (\\(2^{38}\\) est proche de 200 milliards). Cela donne environ 27&nbsp;000 bits pour toutes les 713 cabanes. De l'autre côte le décret de François I<sup>er</sup> fait 3&nbsp;354 caractères. En comptant les lettres, les espaces et les caractères de ponctuation nous avons environ \\(2^5=32\\) caractères différents. Un caractère porte donc 5 bits d'information ou environ 17&nbsp;000 bits pour le document entier ce qui est inférieur aux 27&nbsp;000 bits nécessaires pour décrire toutes les cabanes.
Même si on avait un texte plus long, un deuxième problème se pose. Certaines lettres comme 'e', 'a' et 'i' sont beaucoup plus fréquentes que d'autres comme 'k', 'w' et 'z'. Cela introduira forcement un biais et on verra certaines bandes beaucoup plus souvent que d'autres. On perdra l'apparence aléatoire de la coloration. Même si on avait un texte plus long, un deuxième problème se pose. Certaines lettres comme 'e', 'a' et 'i' sont beaucoup plus fréquentes que d'autres comme 'k', 'w' et 'z'. Cela introduira forcement un biais et on verra certaines bandes beaucoup plus souvent que d'autres. On perdra l'apparence aléatoire de la coloration.
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